Spirale aurea



la spirale aurea viene studiata in ambito di matematica e geometria delle forme e si tratta nello specifico di una spirale logaritmica con fattore di accrescimenti b di crescita pari a φ, la sezione aurea. 


La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo di Fidia, chiamato anche proporzione divina, è un numero irrazionale che si ottiene effettuando il rapporto tra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore misura, a, è medio proporzionale tra la misura minore, b, e la somma delle due (a+b). si indica con la lettera greca phi ed è rappresentato dalla seguente formula:


 

Partiamo dalla elaborazione di una successione numerica, individuata proprio da Leonardo Fibonacci nel 1202, che si rendeva funzionale alla risoluzione di un problema relativo alla evoluzione annuale della popolazione dei conigli: quante coppie di conigli si ottengono in un anno da una sola coppia di partenza, supponendo che essa produca ogni mese, ad eccezione del primo, una nuova coppia che, a sua volta prolifica a partire dal secondo mese?

La risposta è 144 coppie di conigli. In questa serie ogni numero è il risultato della somma dei due numeri precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… andando così avanti all’infinito.

Facendo il rapporto tra due numeri consecutivi della serie di Fibonacci, tale rapporto approssima sempre meglio il numero aureo.



la sezione aurea applicata all'architettura

La proporzione divina individuata da Leonardo Fibonacci è nota sin dai tempi più antichi, utilizzata per ottenere una dimensione armonica delle cose. E’ singolare notare come questa proporzione venga riscontrata anche in natura. Partiamo dal frattale, ossia da una figura geometrica nella quale un motivo identico si ripete in ogni direzione e a scala continuamente ridotta. Ciò significa che ad ogni ingrandimento della figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento saranno visibili nuovi dettagli. In ogni ingrandimento la stessa figura è riprodotta in scala.

La serie di Fibonacci si ritrova nell’ordinamento di foglie su un ramo mentre l’ordinamento dei semi o stami di alcuni fiori. 

Ma qual è il meccanismo che genera tale ordinamento, definito propriamente fillotassi

Nel regno vegetale, la foglia cerca di occupare posizioni sempre migliori al fine di una maggior esposizione all’acqua, all’aria e al sole. 

Tale successione di foglie e rami ha una componente rotatoria che, andando verso l’alto, traccia attorno al fusto una forma elicoidale immaginaria. 

Partendo da una qualsiasi foglia, dopo vari giri attorno alla spirale si troverà sempre una nuova foglia allineata alla prima e, a seconda della specie, sarà la seconda, la terza, la quinta, l’ottava, etc. Stessa cosa accade se osserviamo l’andamento a spirale aurea delle brattee delle pigne o anche dei cavolfiori. 

Si pensi al mondo dei fiori, molti dei quali hanno un numero di petali contenuti nella serie di Fibonacci (giglio 3 petali, ranuncolo 5 petali, speronella 8 petali, cicoria 21 petali, ecc.).

Anche nel corpo umano sono presenti numerosi rapporti aurei: si pensi alle dita della mano, ove i rapporti tra le lunghezze delle falangi di anulare e medio sono aurei. Anche il viso presenta numerosi rapporti aurei:

  • Altezza/larghezza del viso
  • Linea occhi rispetto a mento e fronte
  • Posizione bocca rispetto a mento e occhi
  • Altezza e larghezza naso
  • Lunghezza e altezza del profilo della bocca
  • Larghezza occhi e loro distanza
  • Distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso

il rettangolo aureo

Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate sulla proporzione aurea. Ciò significa che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b (il che implica che entrambi i rapporti siano φ ≅ 1,618).

La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: difatti, basta disegnarvi all'interno un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore, sì da ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di proporzioni auree.

Le sue particolarità, nonché l'alone che già risiedeva attorno alla proporzione aurea, sulla quale è basato, l'hanno fatto considerare nei secoli un canone di bellezza assoluto; non sono mancate nell'800 persino indagini psicologiche volte ad avvalorare tale tesi, e nonostante successive verifiche l'abbiano del tutto privata di valore scientifico ancora oggi è diffusa l'idea che il rettangolo aureo sia il "rettangolo più bello".



Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati e quindi una spirale, detta spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea.

Spesso, per imprecisione, si è portati a scambiare detta spirale con l'autentica spirale aurea, ma si tratta di un errore: la spirale di Fibonacci, infatti, è data dall'unione di un'infinità di quarti di circonferenza, mente la vera spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica, che si sovrappone soltanto parzialmente a quella di Fibonacci. Il grado di approssimazione, però, è talmente buono da notarsi difficilmente a occhio la differenza tra le due.

Ciò che, comunque, hanno in comune entrambe le spirali è il fatto di avvitarsi asintoticamente verso l'incrocio tra le diagonali che possono essere ricavate all'interno dei rettangoli aurei; punto di incontro che è stato chiamato da Clifford Pickover l'occhio di Dio.

Proprio per il fatto che tutto sembra vertere attorno a questo punto, dalle spirali alle diagonali e alla sequenza di quadrati. Interessante notare, poi, come non soltanto le diagonali vere e proprie si intreccino in questo particolare punto del rettangolo aureo, ma anche altre rette colleganti ulteriori punti notevoli di questo vorticoso accentramento.

In geometria solida, il rettangolo aureo è presente in due solidi platonici, anch'essi legati alla sezione aurea:

nell'icosaedro, formato da 20 triangoli equilateri, i cui 12 vertici sono a gruppi di 4 disposti su 3 piani intersecantesi ortogonalmente; su questi è possibile, unendo i diversi punti, disegnare 3 rettangoli aurei disposti allo stesso modo.
nel dodecaedro, formato invece da 12 pentagoni, gli stessi rettangoli aurei possono essere costruiti usando non i vertici, ma i centri delle facce; si tratta in realtà di una riproposizione della proprietà precedente, poiché tali centri sono i vertici di un icosaedro regolare.