la quadratura del cerchio


matematica greca

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca (più precisamente della geometria), il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

trisezione del triangolo

duplicazione del cubo

1654, Vincent Leotaud 

pubblica Leotaud - Examen circuli quadraturae, 1654


1690, Ottavio Scarlattini 

(1623 – 1699) è stato un matematico italiano.

Fu un canonico regolare.[1]


1747, J. P. de Faurè

 (XVIII secolo – XVIII secolo) è stato un matematico francese

1751, Filippo Carmagnini 

 matematico italiano.

1842,  Charles Hermite

Charles Hermite (Dieuze, 24 dicembre 1822 – Parigi, 14 gennaio 1901) è stato un matematico francese che diede rilevanti contributi a campi quali teoria dei numeri, forme quadratiche, teoria degli invarianti, polinomi ortogonali, funzioni ellittiche e algebra.

Egli fu il primo a dimostrare che la costante e, la base dei logaritmi naturali, è un numero trascendente. I suoi metodi furono usati successivamente da Ferdinand von Lindemann per dimostrare il suo teorema secondo il quale π è trascendente.

Hermite decise di studiare all'École Polytechnique e passò un anno a preparare gli esami con Eugène Charles Catalan tra il 1841 e il 1842.

In gioventù lesse molti scritti di Lagrange sulle soluzioni numeriche di equazioni e di Gauss sulla teoria dei numeri. Risale al 1842 il suo primo contributo alla matematica, "Nouvelles Annales de Mathématiques". In questa pubblicazione dimostrò la proposizione di Abel riguardo all'impossibilità di ottenere soluzioni algebriche per equazioni di quinto grado.

Il problema risale alle origini della geometria, e tenne occupati i matematici per secoli.

Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i matematici dell'antichità avevano compreso molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}sqrt  pi  (infatti l'area del cerchio è {\displaystyle \pi r^{2}}pi r2, quindi un quadrato con area {\displaystyle \pi r^{2}}pi r2 deve avere lato pari a {\displaystyle r{\sqrt {\pi }}}rsqrt  pi ). L'impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.

La soluzione del problema della quadratura del cerchio con riga e compasso implicherebbe quindi trovare anche un valore algebrico per π - il che si è dimostrato impossibile dopo il lavoro di Lindemann.

Ciò non implica invece che sia impossibile costruire un quadrato la cui area approssimi molto da vicino quella del cerchio dato. Ad esempio si può costruire un lato di {\displaystyle 39/22=1.7727...}392217727, che è una buona approssimazione di {\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1.7724...}sqrt  pi 17724.

1882 , Ferdinand von Lindemann 

 è stato un matematico tedesco, noto soprattutto per la sua dimostrazione della trascendenza di {\displaystyle \pi }pi  

Lindemann nacque ad Hannover in Germania. La famiglia si trasferì successivamente a Schwerin, dove Ferdinand iniziò gli studi. Studiò matematica a Gottinga, Erlangen e Monaco di Baviera. A Erlangen ricevette il dottorato, con la supervisione di Felix Klein, con una tesi sulle geometrie non euclidee.

Nel 1882 pubblicò il risultato per cui è più noto, la dimostrazione della trascendenza di pi greco. La prova si basava sulla precedente dimostrazione di Charles Hermite della trascendenza di e, la base dei logaritmi naturali. Precedentemente Lindemann aveva già dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, allora l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile

pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco. Precedentemente egli aveva già dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, allora l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile. Fino a quel momento erano stati innumerevoli i tentativi della quadratura matematica del cerchio, tanto che l'espressione era (ed è) diventata sinonimo di un'impresa vana, senza speranza o priva di un significato concreto.
In senso meramente letterario, l'espressione "quadratura del cerchio", viene spesso usata per indicare la soluzione perfetta a un dato problema (anche se, come abbiamo visto, non esiste).


Dante Alighieri

Il Paradiso è la terza delle tre cantiche che compongono la Divina Commedia di Dante Alighieri, dopo l'Inferno e il Purgatorio

«Qual è il geometra che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova.»
(Dante, Paradiso, XXXIII, 133-136)

le teorie di René Guènon 

René-Jean-Marie-Joseph Guénon, conosciuto anche come Shaykh 'Abd al-Wahid Yahya dopo la conversione all'Islam[1] (Blois, 15 novembre 1886 – Il Cairo, 7 gennaio 1951), è stato uno scrittore, filosofo, esoterista, intellettuale francese.

La sua opera, concepita a partire da una ridefinizione in senso tradizionale della nozione di metafisica, intesa come «conoscenza dei principî di ordine universale» da cui tutto procede,[2] non si presenta, nelle intenzioni dell'autore, come un sistema filosofico basato sul sincretismo[3] o come la formalizzazione di un pensiero neospiritualistico, ma è volta all'esposizione di alcuni aspetti delle cosiddette «forme tradizionali» (Taoismo, Induismo, Islam, Ebraismo, Cristianesimo, Ermetismo, Libera Muratoria, Compagnonaggio, ecc.), intese come differenti espressioni del sacro,[4] funzionali allo sviluppo delle possibilità di realizzazione spirituale dell'essere umano.

Guénon non ha mai rivendicato, per se stesso, altra funzione se non quella di aver cercato di esporre, nei limiti del linguaggio ordinario, le idee veicolate nel simbolismo, nella ritualità e nella metodologia operativa di tali «forme tradizionali», o vie di perfezionamento spirituale, stante la natura essenzialmente «non individuale» di esse,[6] e considerata la loro conoscibilità effettiva per il tramite esclusivo di una facoltà «diretta e immediata», l'intuizione intellettuale, anch'essa di ordine non individuale, e trascendente qualsiasi dialettica.[7]

L'opera di Guénon consta di ventisette titoli, dieci dei quali editi dopo la morte dell'autore raccogliendo scritti apparsi in precedenza sotto forma di articoli e recensioni. Prevalentemente scritti in francese, tali lavori sono stati tradotti e costantemente ripubblicati in oltre venti lingue, esercitando una notevole influenza, a partire dalla seconda metà del Novecento, soprattutto nella precisazione dei concetti di esoterismo e Tradizione.

«Tutto ciò che è, sotto qualsiasi modalità si trovi, avendo il suo principio nell'Intelletto divino, traduce o rappresenta questo principio secondo la sua maniera e secondo il suo ordine d'esistenza; e, così, da un ordine all'altro, tutte le cose si concatenano e si corrispondono per concorrere all'armonia universale e totale, che è come un riflesso dell'Unità divina stessa.»

(René Guénon, Il Verbo e il Simbolo, gennaio 1926, ora in Simboli della Scienza sacra, Adelphi, Milano 1975, p. 22)

“Nel corso dei nostri studi, siamo stati condotti a diverse riprese a fare allusione alla Tetraktys pitagorica, e ne abbiamo indicato allora la formula numerica: 

1+2+3+4 = 10, 

mostrando la relazione che unisce direttamente il denario al quaternario[…]si potrebbe in tal modo trovare una moltitudine indefinita di applicazioni del quaternario, legate tutte fra loro, d'altronde, da rigorose corrispondenze analogiche, poiché non sono, in fondo, che altrettanti aspetti più o meno speciali di uno stesso «schema» generale della manifestazione.

Tale «schema», sotto la sua forma geometrica, è uno dei simboli più diffusi, uno di quelli che sono veramente comuni a tutte le tradizioni: è il cerchio diviso in quattro parti uguali da una croce formata da due diametri ortogonali; e si può subito notare che questa figura esprime precisamente la relazione del quaternario col denario, com'è espressa, sotto forma numerica, dalla formula che abbiamo ricordato all'inizio. Infatti, il quaternario è rappresentato geometricamente dal quadrato, se lo si considera sotto il profilo «statico», ma se lo si considera sotto quello «dinamico» come in questo caso, lo è dalla croce; essa, ruotando intorno al suo centro, genera la circonferenza, che, con il centro, rappresenta il denario, il quale è, come abbiamo detto prima, il ciclo numerico completo. Questo viene appunto chiamato «circola tura del quadrante», rappresentazione geometrica di ciò che esprime aritmeticamente la formula 

1+2+3+4 = 10; 

inversamente, il problema ermetico della «quadratura del cerchio» (espressione di solito così mal compresa) non è altro se non ciò che rappresenta la divisione quaternaria del cerchio, che si suppone dato, con due diametri ortogonali, e si esprimerà numericamente con la stessa formula, scritta però in senso inverso:

 10 = 1+2+3+4, 

per mostrare che l'intero sviluppo della manifestazione è così ricondotto al quaternario fondamentale.”

La quadratura del cerchio non era un semplice rompicapo ludico, ma rispondeva ad esigenze di natura profondamente esoterica, assurgendo a simbolo della congiunzione alchemica degli opposti e della pietra filosofale: essendo il cerchio tradizionalmente associato al Cielo e il quadrato alla Terra, far coincidere matematicamente le due figure equivaleva a comporre lo Spirito con la Materia, il Trascendente con l'Immanente, realizzando il rebis o l'androgino in cui consisteva il segreto della creazione.

Conciliare il quadrato col cerchio significava in definitiva trovare la loro corrispondenza occulta, il catalizzatore in grado di risolvere ogni dualismo insanabile, scoprendo il senso dell'analogia enunciata nel motto ermetico «come in alto così in basso».

L'uomo vitruviano, simbolo dell'analogia tra il Cielo, rappresentato dal cerchio, e la Terra, rappresentata dal quadrato.[8]

Mentre il cerchio rappresenta infatti l'Uno indifferenziato, la dinamicità e la ciclicità del tempo perenne senza inizio né fine, il quadrato rimanda alla sua realizzazione concreta nello spazio e alla stabilizzazione, come fa notare l'esoterista René Guénon che li pone in relazione al corso dell'attuale ciclo cosmico:[10]

Costruzione
Il problema risale all'invenzione della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità. Si deve notare che è solo la limitazione ad usare una riga (non graduata) e un compasso che rende il problema difficile. Se si possono usare altri semplici strumenti, come ad esempio qualcosa che può disegnare una spirale archimedea, allora non è così difficile disegnare un quadrato ed un cerchio di area uguale.
Una soluzione richiede la costruzione del numero , e l'impossibilità di ciò deriva dal fatto che p greco è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di p greco venne dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.

Risolvere il
problema della quadratura del cerchio, significa aver trovato anche un valore algebrico di p greco

- il che è impossibile. Ciò non implica che sia impossibile costruire un quadrato con un'area molto vicina a quella del cerchio dato.

La "quadratura del cerchio" come metafora
La prova matematica che la quadratura (matematica) del cerchio è impossibile non ha impedito a molti "spiriti liberi" di spendere anni sul problema. La futilità di dedicarsi a tale esercizio ha portato ad usare il termine in contesti totalmente slegati, dove è usato semplicemente per indicare qualcosa di senza speranza, senza significato o un'impresa vana.
CHi invedce sostiene eche tutto ciò non sia affatto una metafora è bruno Montanari, studioso di Leonardo di antica data, che da oltre un ventennio si occupa proprio dell'esplorazione matematica dettata dagli studi dello stesso Leonardo.

CHI INVEDi Bruno Montanari :
La "Quadratura del cerchio" non è una metafora !!!!

il P.greco è = 3,124014925986656 utilizzando la stessa costruzione geometrica, qui sotto evidenziata in immagini, applicando ad essa l'unità di misura di 1mm.

Questo studio ha evidenziato quanto segue: La costruzione geometrica come evidenziato negli allegati , utilizzando l'unità di misura di un segmento di 1mm.ha dato come risultato: area del quadrato =3,124014925986656
L'area del cerchio è il Pgreco = 3,1415926535897932........... ( numero convenzionale).
La mia ipotesi è questa : il Pgreco + attendibile è l'area del quadrato; essendo derivante da una unità di misura ben precisa lato = 1,76748831 X 1,76748831 = 3,124014925986656

  • Charles Hermite, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  • (EN) Charles Hermite, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland.
  • (EN) Charles Hermite, su Mathematics Genealogy Project, North Dakota State University. 
  • (EN) Charles Hermite, su Open Library, Internet Archive.
  • (EN) Charles Hermite, su Progetto Gutenberg. 
  • (EN) Charles Hermite, in Catholic Encyclopedia, Robert Appleton Company. 
  • Rudi Mathematici numero 95, pagine 3-12
  • ^ Ermete Trismegisto, Tavola di smeraldo, n. 2.
  • ^ Salta a:a b René Guénon, La Tetraktys e il Quadrato di Quattro, su fuocosacro.com.
  • ^ Dialogo sul compasso, Rito Simbolico Italiano, 2016.
  • ^ Filippo Carmagnini, Della quadratura del circolo e del doppiamento del cubo, In Firenze, Pietro Gaetano Viviani, 1751.
  • ^ Figura presente ad esempio nel trattato alchemico Atalanta fugiens di Michael Maier(1618), emblema XXI.
  • ^ Salta a:a b c Massimo Zappia, La quadratura del cerchio, su freemasons-freemasonry.com.
  • ^ Quadratura del cerchio, su montezaga.wordpress.com.
  • ^ Vincent Leotaud, Examen circuli quadraturae, Lugduni, Guillaume Barbier, 1654.
  • ^ Giovanni Fantuzzi, Scarlattini Ottavio, in Notizie degli Scrittori Bolognesi, vol. 7, Bologna, Stamperia di S. Tommaso D'Aquino, 1789, pp. 355–359.
  • ^ (FR) J. P. de Faurè, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, A Genéve, J.P. de Faurè, 1747.
  • ^ Salta a:a b Miranda Lundy, Quadrivium. Numero, geometria, musica, astronomia, p. 76, Sironi, 2011.
  • ^ Elena Filippi, "La quadratura del cerchio": Pio II, Cusano, Alberti e la ricerca della misura ideale per il nuovo cittadino dell'Europa moderna, su «Canonica», n. 7, pag. 65, Centro Studi Pientini (2017).
  • ^ Roma quadrata, su associazionearcheosoficaroma.it.